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既然1+1=2不能被证明,那为什么我们可以使用它
2017-10-15

【修改版 1.1】

我想提问者肯定是被简化的科普给搞糊涂了。在大众科普传媒中,所提到的1+1问题的,涉及到素数(又称质数,指对大于1的自然数,除了1和它本身以外不再有其他因数,这样的数称为质数,2是唯一的偶数质数。)和偶数的关系。事情的起因是这样的,话说1742年,数学爱好者哥德巴赫,有一天突发奇想任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。让我们简单验证一下 4 = 2+2;6=3+3;8=3+5........ ,在有限的范围内,可以发现这个猜想找不到反例,但由于偶数有无限多个,因此无法一一举证,而需要更加简洁的数学证明。

图示:2~20以内的所有数。注意通过将素数自加,或者将两个素数相加,我们就可以得到从2~20的每一个数,而这个规律只要你愿意,你就可以在有限的数字内一直写下去,但是不完全归纳法只能给出提示,不能给出严谨的证明。但让人烦恼的是,又没有办法寻找到一个反例。因此这道乍看起来特别简单,甚至感觉简直就应该是理当如此的一个数学猜想,由于证明它是如此之难,因此成为数学上的经典难题,被誉为——数学皇冠上的明珠。同时因为这道题看起来简单,所以也坑了许多人,无论是数学家还是业余爱好者,为了这道题费劲心思,却一无所获,笔者告诫读者,不要尝试去证明它,尤其不要尝试用小学和初中的数学知识去证明它。

因此,哥德巴赫给大数学家写了一封信,请求他想办法证明自己这个猜想。结果这个看似简单的问题,难住了大数学家欧拉,这是一道看起来相当理所当然的问题,但要严谨的证明它却出乎意料的困难。

以此相对比的是另一道同样大名鼎鼎的素数问题:存在最大的素数吗?自从发现了素数之后,很快就有人问出了这道题。因为,通过使用不完全归纳法,人们观察到一个现象,随着数字的增大,素数的个数迅速减少,那么这种减少的趋势如果一直延续下去,那是否意味着,存在一个最大的素数?所有比它大的数都必然能分解为两个整数的乘积?

图示:日本素数研究者绘制的素数密度图,随着数字增大,素数彼此之间的间隔也越来越大,意味着素数越来越稀疏。

对于数学证明不太熟悉的人来说,大概会觉得这道题简直无法证明,毕竟自然数的序列是无穷无尽的,我们如何知道是否存在一个最大的素数呢,而且即便它真的是最大的,那我们又怎么可能证明这一点呢?但早在两千多年前,几何学之父,欧几里得利用反证法巧妙的证明了不存在最大的素数,并将其记载到他的经典著作《几何原本》之中,被后人称为欧几里得定理。这里就不赘述证明的过程了,有兴趣的读者可以尝试自己证明一下,小提示利用阶乘和余数。总之,这件事也告诉我们,不完全归纳法只能作为提示,而提示可能具有误导性质。因此,虽然素数的个数在迅速下降,但它不会下降到零,因此也就不存在最大的素数。

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